637. Митрохин И.Н., Орлов А.И. Обнаружение разладки с помощью контрольных карт. - Журнал «Заводская лаборатория». 2007. Т.73. No.5. С.74-78.

Наши консультации
Обнаружение разладки с помощью контрольных карт

И.Н. Митрохин, А.И.Орлов

Области применения контрольных карт

	Контрольные карты предназначены для организации и проведения статистического контроля стохастических процессов, представленных в форме временных рядов, на предмет наискорейшего обнаружения момента спонтанного изменения (разладки) вероятностных характеристик контролируемых процессов. Во многих практических задачах только на основании анализа временных рядов возможно выявить скрытые изменения, происходящие в наблюдаемом объекте или явлении. 
	Методы обнаружения разладки имеют многообразные области применения: контроль качества технологических процессов, обнаружение аварийных ситуаций, обработка информации в автоматизированных системах научных исследований (АСНИ), в автоматизированных системах управления технологическими процессами (АСУ ТП), в автоматизированных испытательных стендах. Текущий контроль систем подвижных объектов, обнаружение сейсмических сигналов на фоне шума, оперативное выявление отказов агрегатов без остановки технологического процесса, статистическое регулирование технологических процессов с помощью контрольных карт, мониторинг экологической обстановки, интенсивное наблюдение за тяжелобольными в клиниках - вот лишь краткий перечень задач, которые решают с помощью контрольных карт [1-4].

Основные идеи метода контрольных карт

	Задача статистического регулирования технологического процесса состоит в том, чтобы на основании результатов периодического контроля выборок малого объема принимать решение «процесс налажен» или «процесс разлажен». Соответствующая вероятностно-статистическая модель в простейшем варианте следующая. Выдвигаются две гипотезы: нулевая гипотеза Н0—технологический процесс налажен, если параметр (характеристика) θ распределения контролируемого показателя качества Х равен θ0, и альтернативная гипотеза H1—технологический процесс разлажен, если параметр θ равен θ1. На основании результатов контроля X1, Х2,...,Хn включенных в выборку единиц продукции необходимо с помощью определенных статистических критериев принять одну из этих двух гипотез.
	Обычно [5] выборку значений контролируемого показателя качества моделируют совокупностью независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием μ, и дисперсией σ2. При статистическом регулировании технологических процессов проверяют гипотезы:
	Н0 : μ = μ0 (технологический процесс налажен),
	H1 : μ  = μ1 (технологический процесс разлажен),
если разладка связана с изменением математического ожидания μ. Если же разладка связана с увеличением дисперсии σ2, то в этом случае проверяют гипотезы:
	Н0 : σ = σ0 (технологический процесс налажен),
	H1 : σ = σ1 (технологический процесс разлажен).
	На стадии предварительного анализа состояния технологического процесса необходимо оценить параметры μ0 и σ0. Для этого следует отобрать на контроль определенное количество единиц продукции при нормальном ходе производства, т.е. при надлежащем качестве сырья и при отлаженном оборудовании. При этих условиях мы по правилам прикладной статистики [6] получим оценки параметров μ и σ при налаженном состоянии технологического процесса, т. е. μ0 и σ0. 
	Значения параметров, соответствующие разлаженному процессу, либо задают с помощью экспертов, либо определяют при анализе забракованной продукции.
	На контрольной карте отмечают границы регулирования, ограничивающие область допустимых значений статистики (при справедливости нулевой гипотезы). Контрольная карта является наглядным графическим средством, отражающим состояние технологического процесса. Выход точки за границу регулирования служит сигналом о разладке технологического процесса. 
	Впервые контрольные карты были разработаны в 1924 г. американцем У.А. Шухартом, работавшим в Bell Telephone Laboratories [2]. Методология построения контрольных карт Шухарта имеет ту особенность, что проводимый контроль не учитывает предыдущего поведения контролируемого параметра. В середине XX века была разработана методика, учитывающая информацию о прошлых данных для анализа текущего состояния. В основе этой методики лежит исследование не индивидуальных значений признака, а учет их кумулятивных сумм. Такой подход получил название метода кумсумм (или кумсумм - метода).
	Кумсумма образуется следующим образом:
,		(1)
где k – константа, представляющая собой некоторое эталонное значении, xi – значение используемой статистики в i-й момент времени. Нанесенные на график в порядке появления кумулятивные суммы (Sr) образуют кумсумм - карту.
	В модели, когда разладка связана с изменением математического ожидания, величину k обычно приравнивают математическому ожиданию в налаженном состоянии. Если среднее значение параметра процесса возрастет, то будет иметь место и общий рост уровня кумсуммы, поскольку все большее число значений (xi – k) станут положительными. Аналогичным образом, если среднее значение будет падать, то и график будет стремиться вниз. Т.о. изменение среднего значения исходных данных приводит к изменению угла наклона графика кумсумм.

Пример практического применения

	На примере контроля премиального фонда (ПФ) аппарата управления производственного объединения, покажем, какой контроль можно осуществлять, применив карты Шухарта и карты кумулятивных сумм. 
	Исходные данные – ПФ за 45 месяцев (табл.1). Причем ПФ за первые 3 года считается стабильным. Проверим, не разлажен ли процесс выплаты ПФ в 2005 году, при условии, что норматив ПФ в течение всего контролируемого периода не изменяется. На рис. 1 показана динамика ПФ.

Таблица 1. Премиальный фонд по месяцам (тыс. руб.)
	янв	фев	мар	апр	май	июн	июл	авг	сен	окт	ноя	дек	
2002г.	128	134	143	124	147	127	131	150	120	135	129	150	
2003г.	132	143	141	152	140	125	137	142	153	130	136	137	
2004г.	122	136	153	135	125	139	143	132	146	126	139	136	
2005г.	150	143	155	160	144	153	139	168	151				

	На основании табличных данных слабо прослеживается изменение среднего уровня ПФ в 2005 году. Построим карту Шухарта. Делаем предположение, что с 2002 по 2004 год норматив ПФ за месяц не менялся. Для расчета выборочного среднего арифметического значения и выборочной дисперсии воспользуемся данными 2002-2004 гг., поскольку в эти периоды ПФ считается стабильным, управляемым. 
	Среднее значение выборки рассчитываем по формуле:
тыс.руб.
Выборочную дисперсию рассчитаем по формуле:

Выборочное среднеквадратическое отклонение таково:
 тыс. руб.
	Будем использовать контрольную карту Шухарта, в которой границы регулирования отстоят от значения, соответствующего налаженному процессу, на 3 среднеквадратических отклонения. Тогда допустимые значения премиального фонда будут лежать в диапазоне , нижняя граница регулирования ПФ составит: (тыс. руб.), а верхняя -  (тыс. руб.).
	На основании расчетов построим контрольную карту премиального фонда (рис.2). Анализ карты показывает, что в августе 2005г. произошла разладка процесса, премиальный фонд превысил статистически управляемый допуск. Необходимо выяснить причину разладки и принять решение о дальнейших действиях.
	Вариация значений ПФ затрудняет визуальный анализ контрольной карты и не позволяет понять тенденцию изменения среднего значения ПФ и вовремя заметить разладку. Решить эту проблему помогают карты кумулятивных сумм. Найдем кумулятивные суммы. Эталонное значение k выберем, как выборочное среднее арифметическое: тыс. руб.
	Далее рассчитываем кумулятивные суммы по формуле (1) (табл.2). Карта кумсумм представлена на рис.2.

Таблица 2. Значения кумулятивных сумм
	янв	фев	мар	апр	май	июн	июл	авг	сен	окт	ноя	дек	
2002г.	-9	-11	-5	-17	-7	-17	-22	-9	-26	-27	-35	-21	
2003г.	-26	-20	-15	0	4	-8	-8	-2	14	8	7	7	
2004г.	-7	-8	8	7	-5	-2	4	-1	9	-2	1	0	
2005г.	13	20	38	62	69	85	88	119	134				

	Именно наклон графика служит мерой измерения случайной величины. Так, в рассматриваемом случае, нулевой наклон означает, что система работает в своем среднем режиме 137 тыс. руб. в мес. и т.д. согласно шкале кумулятивных сумм.
	Анализ карты свидетельствует о том, что уровень ПФ меняется в течение времени контроля:
	ПФ для первых 11 месяцев 2002г. = 134 тыс. руб.;
	ПФ с декабря 2002г. по август 2003г. = 139 тыс. руб.;
	ПФ с сентября 2003г. по декабрь 2004г. = 137 тыс. руб.;
	ПФ с января 2005г. = 147 тыс. руб.
Пример демонстрирует достоинства контрольных карт кумулятивных сумм как средства визуального контроля. График кумулятивных сумм более чувствителен к выявлению изменений в уровне признака (ПФ), чем карта Шухарта, и, таким образом, карты кумулятивных сумм – хорошая графическая форма представления данных для визуального контроля. Карты кумулятивных сумм позволяют отследить изменение среднего значения параметра.  Однако при этом методе целесообразно проверять на практике значимость любого обнаруженного изменения кумулятивных сумм, особенно в случаях, когда изменение признака нельзя объяснить какими-либо реальными фактами.

Многообразие контрольных карт

	В разобранном примере рассматривался временной ряд значений контролируемого параметра. Часто используют временной ряд значений той или иной статистики, рассчитанной по выборке значений контролируемого параметра в рассматриваемый момент времени. Этой статистикой может быть выборочное среднее арифметическое значение, медиана, выборочная дисперсия, среднее квадратическое или размах, а также число дефектов или число дефектных единиц продукции, и т. д. Во всех этих случаях могут применяться контрольные карты Шухарта или карты кумулятивных сумм.
	Контрольные карты Шухарта предназначены для обнаружения резких изменений контролируемого параметра. Примером является поломка резца. В то же время постепенную разладку эти карты «чувствуют» не сразу. Это объясняется тем, что статистики, отражающие состояние процесса, рассматриваются независимо друг от друга, т. е. каждый последующий результат выборочного контроля никак не учитывает предыдущую информацию.
	Контрольные карты кумулятивных сумм наиболее чувствительны к постепенной разладке процесса. Примером является постепенное стачивание резца. В то же время на резкое отклонение контролируемого параметра они реагируют медленнее, чем карты Шухарта. Это объясняется тем, что для оценки состояния процесса здесь используются накопленные суммы выборочных статистик, например, кумулятивные суммы выборочных средних или кумулятивные суммы выборочных дисперсий. Таким образом, здесь учитывается не только результат контроля текущей выборки, но также используются результаты контроля предыдущих выборок. 

Средняя длина серии

Чувствительность контрольной карты к разладке определяется средней длиной серии (СДС) выборок проходящего процесса. СДС определяется как среднее число выборок, предшествующих наладке технологического процесса при неизменном распределении вероятностей контролируемого параметра.
При налаженном процессе сигнал о разладке является ложным, поэтому предпочтительным является максимально возможное значение СДС выборок L0. Чем больше значение L0, тем реже появляется сигнал о разладке при налаженном процессе. При разлаженном процессе, наоборот, предпочтительным является возможно меньшее значение СДС выборок L1. Чем меньше значение L1 при разлаженном процессе, тем быстрее будет обнаружена разладка процесса. 
СДС определяет эффективность плана контроля с помощью контрольной карты. Наиболее эффективным планом контроля будет тот, который обеспечит, при равных исходных условиях, наибольшее значение СДС выборок налаженного процесса L0 и наименьшее значение СДС выборок разлаженного процесса L1. Однако оптимизация одновременно по двум критериям невозможна. Поэтому один из критериев переводят в ограничение, обычно связанный с L0. Величина L0 определяет положение границ регулирования.

Метод контрольных карт в России

	Судьба метода контрольных карт в России драматична. В 70-е годы они стали внедряться на отечественных предприятиях, давая заметный экономический эффект. Появились государственные стандарты по статистическому регулированию технологических процессов, основанные на использовании контрольных карт. Однако Рабочая группа по упорядочению системы стандартов по прикладной статистике и другим статистическим методам (1985-1987) установила, что все государственные стандарты СССР по статистическому регулированию технологических процессов содержат грубейшие ошибки и их невозможно использовать ни как справочные, ни тем более как нормативные материалы [7]. Эти стандарты были отменены. К сожалению, ряд литературных источников [4] содержит ошибки.
	Диалоговая программная система СТАТКОН разработана в качестве замены ГОСТам с ошибками и содержит в себе все основные результаты теории контрольных карт. (Руководитель разработки системы СТАТКОН профессор Г.Ф. Филаретов (Московский энергетический институт) возглавлял подкомиссию по статистическому регулированию технологических процессов Рабочей группы.) В частности, в диалоговую систему СТАТКОН входят следующие разновидности контролирующих алгоритмов, относящиеся к группе алгоритмов кумулятивных сумм и предназначенные для обнаружения:
•	скачкообразного изменения математического ожидания гауссовского дискретного случайного процесса с независимыми наблюдениями;
•	линейного возрастающего изменения математического ожидания случайного процесса указанного типа;
•	скачкообразного изменения вектора математических ожиданий векторного гауссовского случайного процесса с независимыми наблюдениями;
•	скачкообразного изменения дисперсии для гауссовского дискретного процесса с независимыми наблюдениями;
•	скачкообразного изменения вероятности появления некоторого события в последовательности независимых случайных событий (нерандомизированный и рандомизированный варианты).
	Как известно, в подавляющем большинстве технико-экономических ситуаций распределения элементов выборки отличны от нормальных [8]. Поэтому выводы, сделанные на основе использования при моделировании нормального распределения, имеют лишь теоретическое значение. Однако они дают первое представление о ситуации, первоначальные ориентиры, которые могут быть уточнены при более тщательном исследовании.
	На несколько иных принципах построена диалоговая система АВРОРА-РС "Анализ временных рядов и обнаружение разладки", разработанная под руководством И.В. Никифорова (академический Институт проблем управления) и А.А. Новикова (Математический институт им. В.А. Стеклова). К ее основным функциям относятся последовательное обнаружение изменения свойств независимых случайных последовательностей и зависимых случайных последовательностей типа авторегрессии с помощью ряда жестко настроенных и адаптивных алгоритмов скорейшего обнаружения, обнаружение изменения свойств многомерных сигналов, наблюдаемых с избыточностью, расчет статистических характеристик алгоритмов обнаружения, статистическое моделирование алгоритмов на специально генерируемых или вводимых пользователем данных, оптимальная настройка алгоритмов и подбор их характеристик, параметрический анализ временных рядов на основе авторегрессии.
	В нашей стране разработано большое число программных продуктов, посвященных статистическим методам управления качеством продукции [9].

Литература

1. Мердок Дж. Контрольные карты / Пер. с англ. – М.: Финансы и статистика, 1986.-151с.
2. Статистические методы повышения качества: Пер. с англ./Под ред. Х .Кумэ. - М.: Финансы и статистика, 1990.-304с.
3. Андерсен Б. Бизнес-процессы. Инструменты совершенствования. – М.: Стандарты и качество, 2005. – 272 с.
4. Богатырев А.А., Филиппов Ю.Д. Стандартизация статистических методов управления качеством. -М.:.Изд. Стандартов, 1989. – 120 с. 
5. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник для вузов. Изд. 3-е, переработанное и дополненное. - М.: Изд-во "Экзамен", 2004. – 576 с.
6. Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 2004. Т.70. No.5. С.65-70. 
7. Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1997. Т.63.  No.3. С. 55-62.
8. Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1991 Т.57. No.7 С.64-66.
9. Орлов А.И. /Качество и надежность изделий. No.5(21). - М.: Знание, 1992. С.51-78.